勉強は娯楽

昨日に続いてYさんの話です。

Yさんは今日もLilyで勉強していました。

21時20分、授業終了です。

でも、Yさんは勉強道具を片付ける素振りがありません。

見てみると合同式でわからないところがあるようです。

ちなみに合同式は高1の最後で習います。

そこで、合同式とユーグリットの互除法について教えました。

ちなみにこの2つは「そんなの覚えてない。初めて聞いた」という保護者の方も多いかと思います。

でも安心してください。

合同式やユーグリットの互除法は、私世代は学校で習っていません。

覚えてなくて当然なのです。

友人Y

あやうく「知ってる」と知ったかぶりするところだった

学習指導要領が時代によってちょこちょこ変わるのです。

合同式というのを簡単に説明してみます。

a,b を整数,mを正の整数とする。

「a を m で割った余り」と「b を m で割った余り」が等しいことを

$$a\equiv b\space(mod\space m)$$

と表す。この式を合同式といい,「a 合同 b モッド m」と読む。

こんなふうに言われてもわけがわかりませんよね。

具体的な数字で考えてみましょう。

2つの整数「13」と「28」があります。これは5を法として合同です。

友人Y

5を法として合同の意味がわからん

噛み砕いて言うと、「13も28も5で割ったときの余りが同じ」ということ。

友人Y

余りはどちらも3だから?

SHIMIZU

そういうこと

これを$$13\equiv 18$$と表します。

友人Y

ほーん

面白いことに13は8とも合同です。5を法とすれば。

友人Y

じゃあ、3とも合同?

合同です。

SHIMIZU

3を5で割ると、0余り「3」だからね

余りの数に着目するので、18も13も8も3も、5を法とすれば合同なのです。

簡単な言葉でいうと

18も13も8も3も、5で割れば余りは同じってことです。

友人Y

最初からそう言えばいいのに

SHIMIZU

数学ってわざわざ難しい言い回しするよねー

そしてこの合同式を使うと何が良いかというと……

「5で割ると余りが3になる数」を簡単に表現できるようになるのです。

$$x\equiv 3\space(mod\space5)$$

5で割ると余りが3になる数を具体的に書いてみると3,8,13,18,23,28,…と延々と書かなきゃいけませんし、そもそも永遠に書き終わらないので、具体例をあげ続けるのは不可能なのです。

それがたった1行の数式で表現できるのです。

友人Y

でもさ、5n+3で良くない?

SHIMIZU

ぎくっ

そうなんです。

「5で割ると3余る数」というのは、「5の倍数より3大きい数」と言い換えられ、5n+3と表せちゃうんです。

友人Y

じゃ、合同式意味ないじゃん

SHIMIZU

だからまた削られちゃったのかも

実は合同式は学習指導要領外ということで、まあ習わなくても問題ないということです。

友人Y

本当に意味を見いだせない単元だね

でもこんなときに便利っていう場面があります。

$$15^{100}$$を7で割ったときの余りは?

こんなときに合同式を使うと簡単に答えが出せるのです。

友人Y

なんでそんな数の余りを出そうとするのかね……

15の100乗なんて日常では絶対に使わないし、なんで商よりも余りを気にしているんだよ!と、ツッコミたい気持ちもわかります。

というか、私もそうツッコミましたし。

同じことをYさんも思っていたらしく、この単元の存在意義がわからないという話で盛り上がりました。

「数学の質問をしているので、帰りは遅くなります」とYさんのお母様にLINEを入れておいて良かったです。

終わったのは22時をちょっと過ぎてからでした。

その後お母様から

遅くまでお付き合いいただきありがとうございましたm(_ _)m

楽しかったーと言って帰ってきました(^^)

というLINEをいただきました。

勉強の感想が楽しいっていうのは凄いですね。

SHIMIZU

まあ、実際こっちも楽しかったけど

Yさんはこのまま進んでいきそうですね(^^)

この記事を書いた人

学習塾Lilyの講師。筑西市出身。
「いかにわかりやすく教えるか」を追求することを好むが、教えすぎない指導を心がけている。

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